LA REGLA DE LA CADENA

Es decir, el gradiente en notación matricial corresponde a un vector fila, en con-

traste con las funciones vectoriales habituales que son vectores columna.

El teorema de continuidad de una función diferenciable se extiende desde el

caso escalar al vectorial sin ninguna dificultad, es decir, una función vectorial

diferenciable es continua.

                        La regla de la cadena

Estudiemos la composición de funciones vectoriales en los términos más gene-
rales posibles. Sean dos funciones vectoriales f y g y consideremos la composi-
ción f ◦ g
g : U ⊂ Rn → Rk
, f : V ⊂ Rk → Rm, f ◦ g : U
0 ⊂ Rk → Rm
donde U
0 ⊂ U porque sólo si g(x) ∈ V está bien definido f ◦ g (x) = f(g(x)).
Podemos de nuevo generalizar por componentes la fórmula de la derivada res-
pecto a un parámetro. Imaginemos que g depende de un parámetro λ, que podría
ser una de las variables xi
. La derivada parcial de una función escalar f(g(x))
(con f : Rk → R) es ∂
∂λf(g(x)) = ∇f(g(x)) ·
∂g
∂λ (x), con lo que para cada compo-
nente fi de f(g(x)) tenemos que
∂
∂λfi(g(x)) = ∇fi(g(x)) ·
∂g
∂λ(x) ⇔
∂
∂λf(g(x)) = J (f)(g(x)) ·
∂g
∂λ(x).
Consideremos ahora la fórmula de la derivada direccional de una función vectorial.
Hemos ya calculado que es
Dvf(x) = J (f)(x) · v
y podríamos haberlo hecho utilizando la definición y la fórmula
Dvf(x) = lím
h→0
d
dhf(x + hv)




h=0
= lím
h→0
J (f)(x + hv) ·
d
dh(x + hv)




h=0
= J (f)(x) · v
Usando este cálculo vamos a averiguar la diferencial de la función compuesta,
es decir, la generalización de la regla de la cadena para composición de funcio-
nes vectoriales. Sabemos que la diferencial, aplicada a h, es la derivada direccio-
nal Df(x)(h) = Dhf(x) en la dirección h. Por tanto, la diferencial de la función