Derivada de una Función Vectorial : 02/19/15

Ejemplos:

Determine $D_{x}y\;\;\mbox{si}\;\;x=e^{t},\;\;y=1+t^{2}\;\; \mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$
Solución:
Por el teorema anterior se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$
Luego:
$D_{t}y=2t,\;\;D_{t}x=e^{t}\;\;(e^{t}\neq 0\;\;\mbox{para todo}\;\; t\in I\!\!R)$ por lo que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t}{e^{t}}}$
Determinar los puntos de la curva con ecuaciones $\displaystyle{x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1},\;\;y=\frac{t}{t^{2}-1}}$ en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.
Solución:
Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por $D_{x}y$ .
Como $D_{t}x=\displaystyle{\frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;D_{t}y=-\frac{1+t^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}}$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{t^{2}+1}{2t}}$
La pendiente de la recta tangente es cero cuando $D_{x}y=0$ , en este caso cuando $t^{2}+1=0$ ; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones $x=Bt,\;\;y=Ct-dt^{2}$ cuando
Solución:
La ecuación de la recta tangente está dada por , donde $m=D_{x}y$ .
Se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}=\frac{C-2dt}{B}}$
Cuando $t=0\;\;\mbox{entonces}\;\;D_{x}y=\frac{C}{B}$ , por lo que $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x+b\;\;(*)}$
Cuando se obtiene $x=0,\;\;y=0$ , y al sustituir en se obtiene: .
Luego, la ecuación de la recta tangente es: $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x}$

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA
PARAMÉTRICA
( )
( ) : ;,
x ft
f t ab
y gt
⎧⎪ =
⎨ ∈ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ = ⎩
De la regla de la cadena
dy dy dt
dx dt dx =
En donde dt
dx se puede calcular despejando " "t de
x ft = ( ), lo que no siempre es fácil y en ocasiones es
imposible. Otra forma de calcular dt
dx
es usando la derivada
de la función inversa, por la cual,
dt 1
dx dx
dt
=
de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:
( )
( )
1 '
'
dy
dy dy dy dy g t dt
dx dt dx dx f t dx dx
dt dt
= ⇒=⇒=
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada dy
dx
:
2 2
: ;0
1
x tt
f t
y t
⎧⎪ = − ⎨ ≥
⎪⎩ =+ −
i) Por medio de la fórmula obtenida.
ii) Eliminando el parámetro " "t y derivando el resultado.

Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas
.
Si ( ) e ( ) son funciones continuas de en un intervalo , el conjunto de
pares ( , ), con ( ), ( ) se denomina curva plana . La variable
se llama parámetro y las ecuaciones
xt yt t I
x y x xt y yt C
x
t
= =
=
Definición
( ) , se denominan ecuaciones ( )
paramétricas de . Diremos que C es una curva suave si ( ) e ( ) son
continuas y no se anulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de .
x t
y yt
C xt yt
I
⎧
⎨
⎩ =
Si es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ),
entonces la pendiente de en ( , ) es:
'( ) , siendo '( ) 0. '( )
C x xt y yt
C xy
dy y t x t
dx x t
= =
= ≠
Teorema (derivada)
1 2
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones (

Derivada de una Función Vectorial

jueves, 19 de febrero de 2015

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