jueves, 19 de febrero de 2015

Ejemplos:
  1. Determine $D_{x}y\;\;\mbox{si}\;\;x=e^{t},\;\;y=1+t^{2}\;\; \mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$
    Solución:
    Por el teorema anterior se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$
    Luego:
    $D_{t}y=2t,\;\;D_{t}x=e^{t}\;\;(e^{t}\neq 0\;\;\mbox{para todo}\;\; t\in I\!\!R)$ por lo que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t}{e^{t}}}$
  2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones$\displaystyle{x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1},\;\;y=\frac{t}{t^{2}-1}}$ en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.
    Solución:
    Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por $D_{x}y$.
    Como $D_{t}x=\displaystyle{\frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;D_{t}y=-\frac{1+t^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}}$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{t^{2}+1}{2t}}$
    La pendiente de la recta tangente es cero cuando $D_{x}y=0$, en este caso cuando $t^{2}+1=0$; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de $t$. Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.
  3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones $x=Bt,\;\;y=Ct-dt^{2}$ cuando $t = 0$
    Solución:
    La ecuación de la recta tangente está dada por $y=mx+b$, donde $m=D_{x}y$.
    Se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}=\frac{C-2dt}{B}}$
    Cuando $t=0\;\;\mbox{entonces}\;\;D_{x}y=\frac{C}{B}$, por lo que $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x+b\;\;(*)}$
    Cuando $t = 0$ se obtiene $x=0,\;\;y=0$, y al sustituir en $(*)$ se obtiene: $b= 0$.
    Luego, la ecuación de la recta tangente es: $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x}$ 
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