Derivadas parciales

Derivada según un vector. Derivadas parciales.

Si A ⊂ R^n es un abierto y f : A −→ R una función, se llama derivada de f en el punto a ∈ R^n, según el vector v ∈ R al siguiente límite, si existe:

                                                        lím    f(a + hv) − f(a)= Dvf(a).

                                                       h→0               h 

 Si la norma del vector es = 1, se le llama derivada direccional. Cuando se trata de los vectores i, j k de la base canónica, le llamamos derivadas parciales.

Dif(a) = Dxf(a) =  ∂  f(a),  Djf(a) = Dyf(a) =  ∂  f(a) , ; ;  Dkf(a) = Dzf(a) =  ∂  f(a)                                                 dx                                      dy                                          dz

Calcular derivadas parciales es muy sencillo y solo consiste en derivar con respecto a la variable en cuestión, suponiendo que el resto de variables son constantes. Se llama vector gradiente de f en un punto a al vector 

f(a) = (Dxf(a), Dyf(a), Dzf(a)) 

Si la norma del vector es = 1 y f tiene derivadas parciales continuas en a, entonces la derivada direccional es 

                                                                     Dvf(a) = f(a).v