Otra Definición de Gradiente de una Función - Teoria y.Ejercicios Resueltos

Otra Definición de Gradiente de una Función - Teoria y.Ejercicios Resueltos

Definimos el gradiente de una función escalar V en un punto (x, y, z) como un vector cuya expresión en componentes cartesianas es:

Ejemplo de gradiente 

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie: 2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7 En el punto P0(1, -1, 2) 

solución: Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí que podamos hacer: V→⋅(∇→ϕ)=0 Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector : P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2): ∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7 ∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3 ∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8 De donde se tiene: (∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ Con lo que podemos poner P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8 Haciendo operaciones y simplificando nos queda: 7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0 Que es la ecuación del plano pedido.