Conceptos Previos

Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t).

Ahora podemos hablar de:

Derivada de una Función Vectorial

Si t es una función vectorial, entonces la derivada de R es una función vectorial, denotada por:

R’ y definida por:

R’(t)=lim_{Δt→0  =}f ‘(t) i + g ‘(t) j + h’ (t) k

problema de verificación

-     PROBLEMA

           En el siguiente ejercicio verifique el teorema 11.2.5 para las funciones vectoriales dadas

R(t) = (t² + e^t)i + (t – e^2t)j;   Q(t) = (t³ + 2e^t)i – (3t + e^2t)j

           

una pequeña práctica

Práctica

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂  de la curva que tiene la ecuación vectorial dada:

R(t) = 4t^3/2 i – 3sen t j + 3 cos t k: t₁=0; t₂= 2

R//  13 

ejercicio

Ejercicio

Problema obtenido del libro de Leithold capítulo 11

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂ de la curva que tiene la ecuación vectorial dada

49) R(t) = (t + 1)i – t² j + (1 – 2t) k ; t₁=-1; t₂=2

¡Lo que Debemos saber!

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también paraser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta esla función vectorial. 
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales

Repasemos antes de Continuar

Observemos este video para recordar las conceptos bàsicos antes de continuar https://www.youtube.com/watch?v=mspaFU3pOKI

Tomando El tiempo en cuenta debemos saber que....

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.