Aplicaciones

El vector gradiente se utiliza muy especialmente dentro del campo de la física para medir variaciones y desplazamientos de distancias cortas y especialmente dentro de lo que se considera electromagnetismo o mecánica de fluidos. Así, para conocer el grado de fotosensibilidad se medirán los conceptos claridad-oscuridad.

Sin embargo, el vector gradiente va más allá de estos ámbitos. De esta manera existe lo que se denomina gradiente geotérmico, que sirve para medir las variaciones de temperatura con respecto a la altitud. Es un concepto esencial para conocer la estructura y composición de las capas térmicas.

Otro tipo de gradiente, el térmico, da una idea de la variación del calor interno de la Tierra. El aprovechamiento del este tipo de gradiente como fuente de energía es una de las posibles soluciones que se han planteado para evitar el agotamiento del petróleo. También existe el gradiente hidráulico que mide el grado de estancamiento del agua en zonas subterráneas o el gradiente adiabático que mide la variación de temperatura que experimentan las masas de aire en movimiento vertical, especialmente útil en el campo de la meteorología.

Pero el gradiente no sólo se utiliza en el campo de la física. En química, el vector gradiente indica el grado de concentración de una mezcla formada por varios elementos disueltos de forma proporcional. En el ámbito de la biología se utiliza para medir las sustancias que pueden traspasar el campo celular o más conocido como membranas.

En definitiva, el cálculo del vector gradiente es especialmente útil en la mayoría de los casos de la vida real. Se necesita para construir edificios, para hacer predicciones meteorológicas o simplemente para saber dónde encontrar agua.

Otra Definición de Gradiente de una Función - Teoria y.Ejercicios Resueltos

Otra Definición de Gradiente de una Función - Teoria y.Ejercicios Resueltos

Definimos el gradiente de una función escalar V en un punto (x, y, z) como un vector cuya expresión en componentes cartesianas es:

Ejemplo de gradiente 

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie: 2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7 En el punto P0(1, -1, 2) 

solución: Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí que podamos hacer: V→⋅(∇→ϕ)=0 Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector : P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2): ∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7 ∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3 ∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8 De donde se tiene: (∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ Con lo que podemos poner P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8 Haciendo operaciones y simplificando nos queda: 7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0 Que es la ecuación del plano pedido.

Gradiente

 Definición Si la función es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial recuerdan un producto escalar

 D~u f = fxu1 + fyu2 = (fx, fy) · (u1, u2) = −→∇f ·~u
df = fxdx + fydy = (fx, fy) · (dx, dy) = −→∇f · ~vT

Este resultado nos hace tener en consideración el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una función en un punto. Así, Dada una función diferenciable de dos variables, se llama vector gradiente de dicha función en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los símbolos gradf(p), ∇f(p) o −→∇f(p). gradf(p) = ∇f(p) = −→∇f(p) = ∂f ∂x(p), ∂f ∂y (p)

Curiosidades

Curva Parametrizada

 Método Tiedro de Frenet

Sea T ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una

parametrización regular y α : I′ = [a′, b′] → R3 su parametrización respecto el

parámetro arco.

A partir de la primera y segunda derivada de la parametrización de la curva

se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son

tres vectores unitarios y ortonormales, T(t), B(t) y N(t). Es decir, el triedro de

Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporciona

información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil,

porque se desplaza por la curva según la recorremos.

Ejemplo:

Algo diferente

Las ecuaciones diferenciales, en las que intervienen funciones y sus derivadas, como por ejemplo y’=sin²x−cos²x, producen al integrarse hermosas curvas, como las que recoge en su web el Palais de la Decouverte de París. 

The Grand Palais

El artista tituló su exposición Excentrique (s) (excéntrica), sin ninguna explicación, tal vez porque la confrontación con el Grand Palais es un rompecabezas tales. El quería por encima de todo para tomar ventaja de la construcción del edificio, hecho de círculos, dar a luz a dos rectángulos que se unen bajo una cúpula circular. Y el resultado es unos 100 círculos, cubiertas con película de color - azul, amarillo, rojo, verde - y fijos en 1300 patas de metal encima de las cabezas de los visitantes, ampliando el alcance de la nave. El sistema se interrumpe justo debajo de la cúpula y se puede ver a través de grandes espejos circulares.

Conceptos Previos

Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t).

Ahora podemos hablar de:

Derivada de una Función Vectorial

Si t es una función vectorial, entonces la derivada de R es una función vectorial, denotada por:

R’ y definida por:

R’(t)=lim_{Δt→0  =}f ‘(t) i + g ‘(t) j + h’ (t) k

problema de verificación

-     PROBLEMA

           En el siguiente ejercicio verifique el teorema 11.2.5 para las funciones vectoriales dadas

R(t) = (t² + e^t)i + (t – e^2t)j;   Q(t) = (t³ + 2e^t)i – (3t + e^2t)j