Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas
.
Si ( ) e ( ) son funciones continuas de en un intervalo , el conjunto de
pares ( , ), con ( ), ( ) se denomina curva plana . La variable
 se llama parámetro y las ecuaciones
xt yt t I
x y x xt y yt C
x
t
= =
=
Definición
( ) , se denominan ecuaciones ( )
paramétricas de . Diremos que C es una curva suave si ( ) e ( ) son
continuas y no se anulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de .
x t
y yt
C xt yt
I
⎧
⎨
⎩ =
Si es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ),
entonces la pendiente de en ( , ) es:
'( ) , siendo '( ) 0. '( )
C x xt y yt
C xy
dy y t x t
dx x t
= =
= ≠
Teorema (derivada)
1 2
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones (

Ejercicio

Obtenga la función vectorial más general cuya derivada tenga el valor de función indicado.

Problema

tan t i – i/t j

Respuesta

ln ( sec t)  i – ln( t )  j + c 

Función vectorial

Demostración del producto cruz de dos funciones vectoriales

producto cruz de dos funciones vectoriales

La demostración  es bastante sencilla. En efecto, sea

entonces el siguiente incremento es válido

Efectuando un pequeño ajuste (quitando y poniendo un mismo término), tenemos que

dividiendo ahora por Dt

Pasando al límite cuando Dt tiende a cero

donde es claro que

Y con esto se demuestra

Una manera diferente de ver las matemáticas

Dicen que ante el infinito los matemáticos tumban un ocho y se quedan tan anchos. Y un niño dijo, con aguda perspicacia, que eso del infinito os lo habéis inventado los matemáticos porque estabais hartos de contar, pero todos están de acuerdo en que el ∞ es un problema ∞.

 Puente Infinito de Stockton, en el noreste de Inglaterra, foto de Gareth Hinchliffe.

Problemas a realizar de la Regla de la Cadena para Funciones Vectoriales

Demostrar la regla de cadena para estas funciones:

•  F(∅) = ∅ i + ∅² j + ln∅ k   y    h(t) = e^t

Respuesta:

 D_t (e^t i + e^2t j + t k) = e^t i +2e^2t j + k

F´[h(t)] (h´t)= (i + 2e^t j + e^-1 k)e^t = e^t i +2e^2t j + k

•   F(∅) = sen∅ i + cos∅ j + ∅ k    y    h(t) = sen^-1 t

Respuesta: 

D_t (t i + √(1-t² )j + sen^-1 t k ) = i-[ t/√(1-t² )] j +[ 1/√(1-t² )]k

F[h(t)](h´t)=[(√(1-t² )i –t j+k][ 1/√(1-t² )] =i-t/√(1-t² ) j+ 1/√(1-t² )k

La Regla de la Cadena para Funciones Vectoriales

Sea F una función vectorial, h una función real y G es la función vectorial definida por G(t) = F(h(t)). Si ∅ = h(t) y d∅/dt y D_∅ G(t)  existe, entonces D_t G(t)  existe y esta dada por:

D_t G(t) = [D_∅ G(t)](D∅/dt)