Curiosidades

Curva Parametrizada

 Método Tiedro de Frenet

Sea T ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una

parametrización regular y α : I′ = [a′, b′] → R3 su parametrización respecto el

parámetro arco.

A partir de la primera y segunda derivada de la parametrización de la curva

se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son

tres vectores unitarios y ortonormales, T(t), B(t) y N(t). Es decir, el triedro de

Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporciona

información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil,

porque se desplaza por la curva según la recorremos.

Ejemplo:

Algo diferente

Las ecuaciones diferenciales, en las que intervienen funciones y sus derivadas, como por ejemplo y’=sin²x−cos²x, producen al integrarse hermosas curvas, como las que recoge en su web el Palais de la Decouverte de París. 

The Grand Palais

El artista tituló su exposición Excentrique (s) (excéntrica), sin ninguna explicación, tal vez porque la confrontación con el Grand Palais es un rompecabezas tales. El quería por encima de todo para tomar ventaja de la construcción del edificio, hecho de círculos, dar a luz a dos rectángulos que se unen bajo una cúpula circular. Y el resultado es unos 100 círculos, cubiertas con película de color - azul, amarillo, rojo, verde - y fijos en 1300 patas de metal encima de las cabezas de los visitantes, ampliando el alcance de la nave. El sistema se interrumpe justo debajo de la cúpula y se puede ver a través de grandes espejos circulares.

Conceptos Previos

Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t).

Ahora podemos hablar de:

Derivada de una Función Vectorial

Si t es una función vectorial, entonces la derivada de R es una función vectorial, denotada por:

R’ y definida por:

R’(t)=lim_{Δt→0  =}f ‘(t) i + g ‘(t) j + h’ (t) k

problema de verificación

-     PROBLEMA

           En el siguiente ejercicio verifique el teorema 11.2.5 para las funciones vectoriales dadas

R(t) = (t² + e^t)i + (t – e^2t)j;   Q(t) = (t³ + 2e^t)i – (3t + e^2t)j

           

una pequeña práctica

Práctica

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂  de la curva que tiene la ecuación vectorial dada:

R(t) = 4t^3/2 i – 3sen t j + 3 cos t k: t₁=0; t₂= 2

R//  13 

ejercicio

Ejercicio

Problema obtenido del libro de Leithold capítulo 11

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂ de la curva que tiene la ecuación vectorial dada

49) R(t) = (t + 1)i – t² j + (1 – 2t) k ; t₁=-1; t₂=2

¡Lo que Debemos saber!

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también paraser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta esla función vectorial. 
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales