LA REGLA DE LA CADENA

Es decir, el gradiente en notación matricial corresponde a un vector fila, en con-

traste con las funciones vectoriales habituales que son vectores columna.

El teorema de continuidad de una función diferenciable se extiende desde el

caso escalar al vectorial sin ninguna dificultad, es decir, una función vectorial

diferenciable es continua.

                        La regla de la cadena

Estudiemos la composición de funciones vectoriales en los términos más gene-
rales posibles. Sean dos funciones vectoriales f y g y consideremos la composi-
ción f ◦ g
g : U ⊂ Rn → Rk
, f : V ⊂ Rk → Rm, f ◦ g : U
0 ⊂ Rk → Rm
donde U
0 ⊂ U porque sólo si g(x) ∈ V está bien definido f ◦ g (x) = f(g(x)).
Podemos de nuevo generalizar por componentes la fórmula de la derivada res-
pecto a un parámetro. Imaginemos que g depende de un parámetro λ, que podría
ser una de las variables xi
. La derivada parcial de una función escalar f(g(x))
(con f : Rk → R) es ∂
∂λf(g(x)) = ∇f(g(x)) ·
∂g
∂λ (x), con lo que para cada compo-
nente fi de f(g(x)) tenemos que
∂
∂λfi(g(x)) = ∇fi(g(x)) ·
∂g
∂λ(x) ⇔
∂
∂λf(g(x)) = J (f)(g(x)) ·
∂g
∂λ(x).
Consideremos ahora la fórmula de la derivada direccional de una función vectorial.
Hemos ya calculado que es
Dvf(x) = J (f)(x) · v
y podríamos haberlo hecho utilizando la definición y la fórmula
Dvf(x) = lím
h→0
d
dhf(x + hv)




h=0
= lím
h→0
J (f)(x + hv) ·
d
dh(x + hv)




h=0
= J (f)(x) · v
Usando este cálculo vamos a averiguar la diferencial de la función compuesta,
es decir, la generalización de la regla de la cadena para composición de funcio-
nes vectoriales. Sabemos que la diferencial, aplicada a h, es la derivada direccio-
nal Df(x)(h) = Dhf(x) en la dirección h. Por tanto, la diferencial de la función

Problema propuesto

Problema Propuesto

Teorema la derivada de la suma de dos funciones vectoriales

R(t) = 2sen t i + cos t j – sen 2t k; Q(t) = cos t i + 2 sen t j + k 

Respuesta 

        (2 cos t – sen t)i + (-sen t + 2 cos t)j – 2 cos t k

Problema obtenido del libro de Leithold séptima edición 

Ejemplo sobre el teorema la derivada de la suma de dos funciones vectoriales

Teorema de derivada de la suma de dos funciones vectoriales 

Ejemplo 

R(t) = t²i + (t – 1)j  y Q(t) = sen t i + cos t j

Solución

D_t [R(t) + Q(t)] = D_t ([t² i + (t -1) j] + [sen t i + cos t j ])

                        = D_t [(t² + sen t) i + (t -1 + cos t) j]

                        = (2t + cos t) i + (1 – sen t) j

D_t R(t) + D_t Q(t) = D_t ([t² i + (t -1) j] + D_t (sen t i + cos t j)

                         = (2t i + j) + (cos t i – sen t j)

                         = (2t + cos t) i + (1 – sen t) j

Por tanto D_t [R(t) + Q(t)] = D_t R(t) + D_t Q(t)

Teorema la derivada de la suma de dos funciones vectoriales

Si R y Q son dos funciones vectoriales diferenciales en un intervalo, entonces R + Q  es diferenciable en el intervalo, y

D_t [R(t) + Q(t)] = D_t R(t) + D_t Q(t)

 

Deleitemos Nuestra Vista 

Los vectores han pasado ya de las matemáticas y la física a la vida cotidiana, están en las pantallas y en cualquier parte. Pero no se usan sólo para indicar direcciones, sino para llevar numerosos datos en varias dimensiones al mismo tiempo, como en los colores, vídeo juegos y todos los espacios vectoriales.

Para visualizar el producto vectorial de dos vectores los estudiantes de matemáticas y física hacen cosas raras moviendo sus dedos o girando la mano hacia adelante o hacia atrás. No es que les falte un tornillo, es que buscan una dirección perpendicular con la regla de la mano derecha, el tornillo o el sacacorchos.

Estos vectores no son libres, porque de unos se pueden sacar los otros, pero se pueden usar libremente para colocar libros.

Ejemplo Textual de la Aplicación de la Derivada de una Función Vectorial en un Medio Circular

Un punto recorre una circunferencia de radio R, de modo que en cada instante el vector que une el centro de la circunferencia con el punto forma un ángulo α con el eje OX.

1.   Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.

2.   Encuentra la expresión del vector de posición del punto en función del ángulo α.

3.   Si el ángulo α depende del tiempo como α = ωt, calcula la derivada del vector de posición respecto del tiempo.

 Solución

1 Vector en función del ángulo α

Proyectamos el vector de posición sobre los ejes OX y OY

También podemos escribir el vector en términos de sus componentes cartesianas

2 Derivada del vector respecto de α

Los vectores de la base cartesiana no cambian cuando el ángulo αvaría. Así pues, la derivada del vector  es el vector

En la figura se muestra la dirección de este vector. Como el módulo de  

es constante (e igual a R), el vector derivada apunta en la dirección y sentido en que se mueve el extremo del vector .

3 Derivada respecto al tiempo

Ahora el ángulo α es una función del tiempo

α(t) = ωt

Aplicamos la regla de la cadena

Tenemos

Por tanto

Ejemplo de la definición de la Derivada de una Función Vectorial