Derivadas parciales

Derivada según un vector. Derivadas parciales.

Si A ⊂ R^n es un abierto y f : A −→ R una función, se llama derivada de f en el punto a ∈ R^n, según el vector v ∈ R al siguiente límite, si existe:

                                                        lím    f(a + hv) − f(a)= Dvf(a).

                                                       h→0               h 

 Si la norma del vector es = 1, se le llama derivada direccional. Cuando se trata de los vectores i, j k de la base canónica, le llamamos derivadas parciales.

Dif(a) = Dxf(a) =  ∂  f(a),  Djf(a) = Dyf(a) =  ∂  f(a) , ; ;  Dkf(a) = Dzf(a) =  ∂  f(a)                                                 dx                                      dy                                          dz

Calcular derivadas parciales es muy sencillo y solo consiste en derivar con respecto a la variable en cuestión, suponiendo que el resto de variables son constantes. Se llama vector gradiente de f en un punto a al vector 

f(a) = (Dxf(a), Dyf(a), Dzf(a)) 

Si la norma del vector es = 1 y f tiene derivadas parciales continuas en a, entonces la derivada direccional es 

                                                                     Dvf(a) = f(a).v

Demostración gráfica

Demostración gráfica del teorema

Ejercicio de derivada de una función vectorial

Ejercicio

Calcule R´(t) y R´´(t)

R(t) = (t-1)/(t+1) i + (t-2/t) j

Respuesta:  R´(t)= (2t+1)^-2 i + 2t^-2 j; R´´(t) = -4(t +1)^-3 i – 4t^-3 j

Teorema

Teorema 
Si R es una función vectorial definida por

R(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

entonces

R´(t) = f´(t)i + g´(t)j + h´(t)k

si f´(t)i, g´(t)j y h´(t)k existen.

Una muestra de la aplicación de la derivada de una función vectorial

Esta función representa una curva helicoidal** alrededor del eje z, de radio unidad, como se muestra. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función   representa el vector posición en función del tiempo t. 

Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

** Curva helicoidal: Es la curva que describe un objeto que gira alrededor de un eje cuando el punto de giro se desplaza simultáneamente en una dirección perpendicular al plano de giro, como un resorte.

EJERCICIO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Hallar la derivada  f’ (t) ,dada F (t) = (t² +2t -1) i + (3t ³ -2) j

f’ (t) = (2t+2) i +(9 t² )j

Problemas en práctica 

Calcular la primera y segunda derivada de la ecuación dada:

a) R(t) = (e^2t) i +( ln(t)) j +( t²) k 

Respuesta: R´(t) = (2e^2t) i +(t^-1) j +(2t)k ;

 R´´(t) =( 4e^2t) i – (t^-2) j +(2) k

b) R(t) = (5sen2t) i – (sec 4t) j + (4 cos 2t) k 

Respuesta: R´(t) = (10cos2t) i – (4 sec4t) j – (8sen2t) k ; 

R´´(t) = (-20sen2t)i +(16sec4t – 32sec³4t)j – (16cos2t) k

PROPIEDADES DE DERIVACIÓN

Supongamos que r (t) y s (t) son funciones vectoriales derivables, que f (t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

1.       Adición y sustracción:

d/dt = [r(t) ± s(t)]

 

2.       Producto de un escalar:

d/dt [C r (t)] = cr´(t)

 

3.       Producto por una función:

d/dt [f(t)r(t)] = f´(t)r(t) + f(t)r´(t)

 

4.       Producto escalar:

d/dt [r(t).s(t)] = r´(t) s(t) + r(t) s´(t)

5.       Producto vectorial:

d/dt [r(t)*s(t)] = r´(t)*s(t) + r(t)*s´(t)