Derivada de una Función Vectorial : febrero 2015

martes, 24 de febrero de 2015

Aplicaciones

El vector gradiente se utiliza muy especialmente dentro del campo de la física para medir variaciones y desplazamientos de distancias cortas y especialmente dentro de lo que se considera electromagnetismo o mecánica de fluidos. Así, para conocer el grado de fotosensibilidad se medirán los conceptos claridad-oscuridad.

Sin embargo, el vector gradiente va más allá de estos ámbitos. De esta manera existe lo que se denomina gradiente geotérmico, que sirve para medir las variaciones de temperatura con respecto a la altitud. Es un concepto esencial para conocer la estructura y composición de las capas térmicas.

Otro tipo de gradiente, el térmico, da una idea de la variación del calor interno de la Tierra. El aprovechamiento del este tipo de gradiente como fuente de energía es una de las posibles soluciones que se han planteado para evitar el agotamiento del petróleo. También existe el gradiente hidráulico que mide el grado de estancamiento del agua en zonas subterráneas o el gradiente adiabático que mide la variación de temperatura que experimentan las masas de aire en movimiento vertical, especialmente útil en el campo de la meteorología.

Pero el gradiente no sólo se utiliza en el campo de la física. En química, el vector gradiente indica el grado de concentración de una mezcla formada por varios elementos disueltos de forma proporcional. En el ámbito de la biología se utiliza para medir las sustancias que pueden traspasar el campo celular o más conocido como membranas.

En definitiva, el cálculo del vector gradiente es especialmente útil en la mayoría de los casos de la vida real. Se necesita para construir edificios, para hacer predicciones meteorológicas o simplemente para saber dónde encontrar agua.

Otra Definición de Gradiente de una Función - Teoria y.Ejercicios Resueltos

Deﬁnimos el gradiente de una función escalar V en un punto (x, y, z) como un vector cuya expresión en componentes cartesianas es:

Ejemplo de gradiente

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie: 2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7 En el punto P0(1, -1, 2)

solución: Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0, todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí que podamos hacer: V→⋅(∇→ϕ)=0 Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos considerar el vector : P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2): ∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7 ∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3 ∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8 De donde se tiene: (∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ Con lo que podemos poner P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8 Haciendo operaciones y simplificando nos queda: 7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0 Que es la ecuación del plano pedido.

Gradiente

Definición Si la función es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial recuerdan un producto escalar

D~u f = fxu1 + fyu2 = (fx, fy) · (u1, u2) = −→∇f ·~u
df = fxdx + fydy = (fx, fy) · (dx, dy) = −→∇f · ~vT

Este resultado nos hace tener en consideración el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una función en un punto. Así, Dada una función diferenciable de dos variables, se llama vector gradiente de dicha función en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los símbolos gradf(p), ∇f(p) o −→∇f(p). gradf(p) = ∇f(p) = −→∇f(p) = ∂f ∂x(p), ∂f ∂y (p)

lunes, 23 de febrero de 2015

Curiosidades

Curva Parametrizada

Método Tiedro de Frenet

Sea T ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [a, b] → R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una

parametrización regular y α : I′ = [a′, b′] → R3 su parametrización respecto el

parámetro arco.

A partir de la primera y segunda derivada de la parametrización de la curva

se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son

tres vectores unitarios y ortonormales, T(t), B(t) y N(t). Es decir, el triedro de

Frenet es un sistema de referencia ortonormal que nos proporciona

información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil,

porque se desplaza por la curva según la recorremos.

Ejemplo:

Algo diferente

Las ecuaciones diferenciales, en las que intervienen funciones y sus derivadas, como por ejemplo y’=sin²x−cos²x, producen al integrarse hermosas curvas, como las que recoge en su web el Palais de la Decouverte de París.

The Grand Palais

El artista tituló su exposición Excentrique (s) (excéntrica), sin ninguna explicación, tal vez porque la confrontación con el Grand Palais es un rompecabezas tales. El quería por encima de todo para tomar ventaja de la construcción del edificio, hecho de círculos, dar a luz a dos rectángulos que se unen bajo una cúpula circular. Y el resultado es unos 100 círculos, cubiertas con película de color - azul, amarillo, rojo, verde - y fijos en 1300 patas de metal encima de las cabezas de los visitantes, ampliando el alcance de la nave. El sistema se interrumpe justo debajo de la cúpula y se puede ver a través de grandes espejos circulares.

Conceptos Previos

Derivadas

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t).

Ahora podemos hablar de:

Derivada de una Función Vectorial

Si t es una función vectorial, entonces la derivada de R es una función vectorial, denotada por:

R’ y definida por:

R’(t)=lim_Δ_t_{→0 =}f ‘(t) i + g ‘(t) j + h’ (t) k

domingo, 22 de febrero de 2015

problema de verificación

- PROBLEMA

En el siguiente ejercicio verifique el teorema 11.2.5 para las funciones vectoriales dadas

R(t) = (t² + e^t)i + (t – e^2t)j; Q(t) = (t³ + 2e^t)i – (3t + e^2t)j

una pequeña práctica

Práctica

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂ de la curva que tiene la ecuación vectorial dada:

R(t) = 4t^3/2i – 3sen t j + 3 cos t k: t₁=0; t₂= 2

R// 13

ejercicio

Ejercicio

Problema obtenido del libro de Leithold capítulo 11

Calcule la longitud exacta del arco desde t₁ hasta t₂ de la curva que tiene la ecuación vectorial dada

49) R(t) = (t + 1)i – t² j + (1 – 2t) k ; t₁=-1; t₂=2

viernes, 20 de febrero de 2015

¡Lo que Debemos saber!

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también paraser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta esla función vectorial.
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales

Repasemos antes de Continuar

Observemos este video para recordar las conceptos bàsicos antes de continuar https://www.youtube.com/watch?v=mspaFU3pOKI

Tomando El tiempo en cuenta debemos saber que....

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.

jueves, 19 de febrero de 2015

Ejemplos:

Determine $D_{x}y\;\;\mbox{si}\;\;x=e^{t},\;\;y=1+t^{2}\;\; \mbox{con}\;\;t\in I\!\!R$
Solución:
Por el teorema anterior se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}}$
Luego:
$D_{t}y=2t,\;\;D_{t}x=e^{t}\;\;(e^{t}\neq 0\;\;\mbox{para todo}\;\; t\in I\!\!R)$ por lo que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{2t}{e^{t}}}$
Determinar los puntos de la curva con ecuaciones $\displaystyle{x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1},\;\;y=\frac{t}{t^{2}-1}}$ en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.
Solución:
Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por $D_{x}y$ .
Como $D_{t}x=\displaystyle{\frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}},\;\;\mbox{y}\;\;D_{t}y=-\frac{1+t^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}}$ entonces $D_{x}y=\displaystyle{\frac{t^{2}+1}{2t}}$
La pendiente de la recta tangente es cero cuando $D_{x}y=0$ , en este caso cuando $t^{2}+1=0$ ; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones $x=Bt,\;\;y=Ct-dt^{2}$ cuando
Solución:
La ecuación de la recta tangente está dada por , donde $m=D_{x}y$ .
Se tiene que $D_{x}y=\displaystyle{\frac{D_{t}y}{D_{t}x}=\frac{C-2dt}{B}}$
Cuando $t=0\;\;\mbox{entonces}\;\;D_{x}y=\frac{C}{B}$ , por lo que $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x+b\;\;(*)}$
Cuando se obtiene $x=0,\;\;y=0$ , y al sustituir en se obtiene: .
Luego, la ecuación de la recta tangente es: $\displaystyle{y=\frac{C}{B}x}$

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA
PARAMÉTRICA
( )
( ) : ;,
x ft
f t ab
y gt
⎧⎪ =
⎨ ∈ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎪ = ⎩
De la regla de la cadena
dy dy dt
dx dt dx =
En donde dt
dx se puede calcular despejando " "t de
x ft = ( ), lo que no siempre es fácil y en ocasiones es
imposible. Otra forma de calcular dt
dx
es usando la derivada
de la función inversa, por la cual,
dt 1
dx dx
dt
=
de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a:
( )
( )
1 '
'
dy
dy dy dy dy g t dt
dx dt dx dx f t dx dx
dt dt
= ⇒=⇒=
Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada dy
dx
:
2 2
: ;0
1
x tt
f t
y t
⎧⎪ = − ⎨ ≥
⎪⎩ =+ −
i) Por medio de la fórmula obtenida.
ii) Eliminando el parámetro " "t y derivando el resultado.

Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas
.
Si ( ) e ( ) son funciones continuas de en un intervalo , el conjunto de
pares ( , ), con ( ), ( ) se denomina curva plana . La variable
se llama parámetro y las ecuaciones
xt yt t I
x y x xt y yt C
x
t
= =
=
Definición
( ) , se denominan ecuaciones ( )
paramétricas de . Diremos que C es una curva suave si ( ) e ( ) son
continuas y no se anulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de .
x t
y yt
C xt yt
I
⎧
⎨
⎩ =
Si es una curva suave dada por las ecuaciones ( ), ( ),
entonces la pendiente de en ( , ) es:
'( ) , siendo '( ) 0. '( )
C x xt y yt
C xy
dy y t x t
dx x t
= =
= ≠
Teorema (derivada)
1 2
Si C es una curva suave dada por las ecuaciones (

miércoles, 18 de febrero de 2015

Ejercicio

Obtenga la función vectorial más general cuya derivada tenga el valor de función indicado.

Problema

tan t i – i/t j

Respuesta

ln ( sec t) i – ln( t ) j + c

Función vectorial

Demostración del producto cruz de dos funciones vectoriales

producto cruz de dos funciones vectoriales

La demostración es bastante sencilla. En efecto, sea

entonces el siguiente incremento es válido

Efectuando un pequeño ajuste (quitando y poniendo un mismo término), tenemos que

dividiendo ahora por Dt

Pasando al límite cuando Dt tiende a cero

donde es claro que

Y con esto se demuestra

martes, 17 de febrero de 2015

Una manera diferente de ver las matemáticas

Dicen que ante el infinito los matemáticos tumban un ocho y se quedan tan anchos. Y un niño dijo, con aguda perspicacia, que eso del infinito os lo habéis inventado los matemáticos porque estabais hartos de contar, pero todos están de acuerdo en que el ∞ es un problema ∞.

Puente Infinito de Stockton, en el noreste de Inglaterra, foto de Gareth Hinchliffe.

Problemas a realizar de la Regla de la Cadena para Funciones Vectoriales

Demostrar la regla de cadena para estas funciones:

F(∅) = ∅ i + ∅² j + ln∅ k y h(t) = e^t

Respuesta:

D_t (e^t i + e^2t j + t k) = e^t i +2e^2t j + k

F´[h(t)] (h´t)= (i + 2e^t j + e^-1 k)e^t = e^t i +2e^2t j + k

F(∅) = sen∅ i + cos∅ j + ∅ k y h(t) = sen^-1 t

Respuesta:

D_t (t i + √(1-t² )j + sen^-1 t k ) = i-[ t/√(1-t² )] j +[ 1/√(1-t² )]k

F[h(t)](h´t)=[(√(1-t² )i –t j+k][ 1/√(1-t² )] =i-t/√(1-t² ) j+ 1/√(1-t² )k

La Regla de la Cadena para Funciones Vectoriales

Sea F una función vectorial, h una función real y G es la función vectorial definida por G(t) = F(h(t)). Si ∅ = h(t) y d∅/dt y D_∅ G(t) existe, entonces D_t G(t) existe y esta dada por:

D_t G(t) = [D_∅ G(t)](D∅/dt)

lunes, 16 de febrero de 2015

ejemplo de la derivada del producto de una función real

ejemplos derivadas de producto

teoría de funciones reales de variable real

cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. De hecho, una variación en un instante de tiempo determinado o para un valor concreto de la variable de derivación se puede entender como una variación media cuando el intervalo usado para la obtención de dicha media tiende a cero. Así la derivada es el límite de la tasa de variación media alrededor de un valor de la variable cuando el intervalo de medición tiene a cero. Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función en el punto considerado.

domingo, 15 de febrero de 2015

Derivada del producto cruz (ejemplo)

Ejemplo de derivadas de funciones vectoriales

Ejemplo de derivada de funciones vectoriales

sábado, 14 de febrero de 2015

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES VECTORIALES

CURVAS EN EL ESPACIO Y SUS TANGENTES

Obtenga la velocidad, rapidez y aceleración de una partícula cuyo movimiento
en el espacio está dado por el vector de posición r(t) 5 2 cos t i 1 2 sen t j 1 5 cos2 t k. Trace
el vector velocidad v(7pi4).
Los vectores de velocidad y aceleración en el tiempo t son:

v(t) = r´(t)= -2 sen t i + 2 cos t j - 10 cos t sen t k
= -2 sen t i + 2 cos t j - 5 sen 2t k,
a(t) = r´´(t) = -2 cos t i - 2 sen t j - 10 cos 2t k,
y la rapidez es

PROBLEMAS DE leithold 7 edicion CAP.11.2

EJERCICIO

PROBLEMAS 15 VERIFICAR :TEOREMA LA DERIVADA DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES VECTORIALES

Si y son dos funciones vectoriales diferenciables en un intervalo, entonces Res diferenciable en el intervalo ,y

leithold 7 edicioón cap.11.2